浅谈塑性力学教学中的Lode应力参数拓展

王宏伟, 1，付佳卉   4版

（中国矿业大学（北京）力学与建筑工程学院，北京 100083）

[摘  要]：作者从课堂教学的角度分析了塑性力学教材中Lode应力参数的局限性，给出了Lode应力参数计算公式在π平面内的拓展形式。结果显示，Lode应力参数有6种不同的计算公式，教材中的Lode应力参数计算公式只是主应力次序是时的一种情况。当主应力次序不再为时，Lode应力参数的计算公式随之发生改变。同时，由于Lode应力参数是建立材料屈服条件的基础，所以采用本文的结果可以在不确定主应力大小次序的情况下绘制屈服曲线。因此，本文所探讨的结果拓展了Lode应力参数的计算公式形式，完善了π平面内屈服曲线的绘制途径。

[关键词]：塑性力学，Lode应力参数，π平面，主应力

[项目资助]：中国矿业大学（北京）本科教育教学改革与研究项目（J200706，J210614），中国矿业大学（北京）“越崎青年学者”（2018QN13）。

[作者简介]：王宏伟(1981—)，男，山西朔州人，博士，博导，主要从事工程力学、岩土工程和采矿工程等方面的教学与研究工作。

[中图分类号]：TP028.8  [文献标识码]：A  

塑性力学理论教学中，当讲解到主应力空间中π平面内的应力分解时，会引出一组重要的参数，即Lode参数，包括Lode应力参数、Lode应力角和偏应力矢量的模^[1-2]。这组参数是建立材料屈服条件的基础，借助这组参数可以直观地绘制屈服曲线和屈服面^[3]。

当前塑性力学教材中，Lode参数推导过程是，在π平面内建立笛卡尔正交坐标系，并将坐标系的y轴和主应力轴的投影轴轴的正向重合，而且主应力顺序是，由此才可得到教材中的Lode应力参数和Lode应力角^[4-7]。但是学生在学习过程中，总会提出一些十分有趣的问题。作者经过总结，罗列出如下五个主要问题，第一，为什么π平面内的正交坐标系y轴要和轴正向重合呢？第二，如果y轴和其他投影轴重合将得到什么不同的结果呢？第三，这些结果有什么物理意义呢？第四，Lode应力参数和Lode应力角的取值范围时为什么前提条件是呢？第五，尽管是学者们常采用的主应力次序，但是在一般情况下，往往无法事先判断材料内各点的三个主应力大小次序^[8]，那么如果主应力不按此排序，Lode参数有无变化呢？

为了解开这些疑问，作者尝试将π平面内的正交坐标系的y轴分别和主应力轴在π平面内的投影轴的正向和负向分别重合，考察将得到何种结果。当然，为了使后面的分析有理论基础，按照现有教材中讲解内容，首先简单复盘一下Lode参数的推导过程，并且分析结果的局限性。

一、Lode参数的推导过程

（一）Lode应力角和Lode应力参数

如图1所示，在主应力空间中任意取一个应力状态矢量，其矢量坐标形式为。由于主应力空间坐标轴与其在π平面的投影轴之间夹角相等，且余弦值均为，因此应力状态矢量在上的分量分别为。接下来，考察应力状态矢量在π平面内的投影矢量的坐标。

图1  主应力轴和应力矢量在π平面内的投影

在π平面内，建立以轴正向为y轴，其垂直方向向右为x轴的正交坐标系oxy，将该矢量在上的分量再次投影到x和y轴上，可以得到矢量的坐标，即

定义矢量与x轴的夹角为Lode应力角，用表示，则Lode应力角的正切值为

      （1）

其中，定义为Lode应力参数，用表示，即

   （2）

Lode应力角与Lode应力参数之间的关系为

                   （3）

矢量的模用表示，即

 （4）

（二）现有结果的局限性

当前的塑性力学教材中，如果主应力大小次序按照排序，则可以由公式（1）和（2）确定Lode应力角和Lode应力参数的取值范围，即，，也就是图2（a）所示的π平面内60°范围内的偏应力状态变化。然而，只是主应力空间中三个主应力大小次序的一种情况，当主应力大小次序不按照上述排序时，公式（1）和（2）就无法确定Lode应力角和Lode应力参数的取值范围。此外，π平面内除上述60°的其他范围内的偏应力状态是怎样的呢，公式（1）和（2）也无法回答。传统的Lode应力参数教学在此是无法解释上述问题的，也导致学生不能充分理解Lode应力参数在π平面上的物理意义。所以，需要进一步推导Lode参数的其他计算公式，解释其物理意义。作者接下来将π平面内的y轴分别沿着、和轴的正向和负向，分析得到的结果。

二、Lode参数的拓展

（一）Lode应力参数的其他形式

在教学过程中，为了让学生能充分理解Lode应力参数，作者将π平面内的正交坐标系的y轴分别与重合于、和轴的正向和负向^[8]。

当y轴分别沿着、和轴的正向和负向时，与1.1节的推导相比，变化的只是矢量在坐标系x和y轴上的分量，因此其他情况下的Lode参数推导过程略去。表1给出了当y轴沿着π平面内各投影轴时的Lode应力角和Lode应力参数的结果。

表1结果显示，当y轴分别沿着、和轴的正向和负向时，Lode应力参数有6个不同的公式，而公式（2）只是y轴沿着轴的正向是的一种情况。这6种不同的情况恰好可以将Lode应力角的范围旋转360°后覆盖了整个π平面，如图2（b）所示。

表1 π平面内y轴分别沿着主应力投影轴的正向和负向时的Lode应力参数的计算公式

注：表中为单向拉伸和压缩的屈服极限，为剪切屈服极限。

图2  π平面内不同Lode应力参数下的简单应力状态

（二）主应力和主偏应力大小次序的几种情况

图3是塑性力学教材中讲解到Tresca屈服曲线时给出的主应力大小次序分布情况^[1]，但是教材中并未给出明确解释，下面将根据Lode应力参数的拓展公式来解释这一问题。

图3  π平面内各部分的主应力次序

由于Lode应力参数的取值范围为，为了满足这个条件，Lode应力参数计算公式中的主应力的大小次序需要调整，所以不同的Lode应力参数计算公式的主应力的大小次序是不同的，如表1所示。在图2各种情况中的简单应力状态下，从单向拉伸状态A点，到纯剪切状态B点，再到单向压缩状态C点所覆盖的范围，即为对应的Lode应力参数所应该满足的主应力取值，或者取值范围。例如，图2（a）中从轴的正向到轴的负向所覆盖的范围就是一般规定的的分布情况。另外，主应力大小次序的各种情况所对应的偏应力状态在π平面内是如何分布的也需进一步确定。由于主偏应力的方向和主应力方向重合，因此主偏应力大小次序也在这个区域内。为了清晰的给出主应力和主偏应力的分布情况，图3绘制了6种主应力和主偏应力的大小次序对应的分布区域。

由图3可知，当前塑性力学教材中主应力大小次序只是图中y轴沿着轴的正向时的一种情况。当Lode应力参数为其他公式时，三个主应力的次序将发生改变。由于材料的屈服条件与π平面内的偏应力状态有关，因此当屈服曲线位于其他范围内时，主应力和主偏应力的大小次序应该是图3中的各种情况。这里需要说明的是，虽然在π平面内主要应该讨论的是偏应力状态，但是图3也给出了主应力的分布情况。这是因为Lode应力参数的引出主要为了建立屈服条件或者绘制屈服曲线，而屈服条件的建立还是应该体现主应力的大小和方向，所以在图3中也给出了主应力的分布。这也是塑性力学教材中在讲解到π平面内Tresca和Mises屈服曲线时，不同范围内主应力大小次序不一致的原因，但是教材中并未给出解释。

（三）Lode应力参数的张量形式

尽管表1给出的结果完善了Lode应力参数的表达式，但是形式较为分散，不容易记忆。其实，Lode应力参数可用张量表示，即

 （5）

其中，i，j，k取1, 2, 3，为置换符号。

三、主应力次序变换时的简单应力状态和屈服曲线

Lode参数是建立材料屈服条件的基础，一般地，屈服曲线的绘制方法是通过简单应力状态确定若干在π平面内的特殊点，然后通过屈服曲线的对称性进行绘制。所谓简单应力状态，是指施加的外力使材料只发生一种基本变形，一般为单向拉伸、单向压缩和纯剪切状态。

因为图2（a）中的简单应力状态对应的主应力次序是，因此现有教材中是以这种情况来计算π平面内的特殊点的。正如前文所述，一般情况事先无法确定主应力次序，那么其他主应力次序下如何确定屈服曲线，本文的Lode参数拓展可以解决这一问题。

以主应力大小次序为例，当材料受单轴拉伸屈服时，应力状态是，则Lode应力参数，Lode应力角，偏应力矢量的模；

当材料受纯剪切屈服时，应力状态是，则Lode应力参数，Lode应力角，偏应力矢量的模；

当材料受单轴压缩屈服时，应力状态是，则Lode应力参数，Lode应力角，偏应力矢量的模。由此可以确定π平面中区间的屈服曲线。

由此可见，当主应力次序不同时，Lode应力参数的计算公式改变，则简单应力状态所对应的主应力也不同。表1给出了当主应力次序变化时的简单应力状态的主应力大小。当主应力大小次序按照6种不同情况排序时，均可得到简单应力状态在π平面内的位置，这也可以帮助学生更加清晰直观地理解整个π平面的物理意义，如图2（b）所示。虽然改变主应力次序得到的Lode应力参数的形式不同，但是各个参数所体现的物理意义是相通的。因此，如果不确定主应力大小次序的情况下，依然可以按照图2（b）来确定π平面内简单应力状态对应的点，进而通过对称性绘制屈服曲线，关于这一点现有的塑性力学教材是没有涉及的。

四、结论

塑性力学是固体力学的重要分支，是力学学科中理论性较强的一门专业核心课程，该理论重点阐述了材料在外力作用下的屈服条件和本构关系。在建立材料屈服条件或者绘制屈服曲线和屈服面时需要一组重要的基础参数，即Lode应力参数、Lode应力角和偏应力矢量的模。但是，作者在塑性力学的课堂教学中发现当主应力次序不再是一般规定的时，推导得到的Lode应力参数和教材中的不同。作者通过在π平面内将主应力大小次序拓展后发现，Lode应力参数计算公式存在6种不同的情况，采用这6种Lode参数结果可以在不确定主应力大小次序的情况下绘制屈服曲线。因此，本文所探讨的结果拓展了Lode应力参数的计算公式形式，完善了π平面内屈服曲线的绘制途径，在教学中能够展现出理论的全面性，同时也锻炼了学生的思维拓展能力。

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[6] 徐秉业. 《简明弹塑性力学》第一版[M]. 北京: 高等教育出版社, 2011, 01

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[8] 王宏伟, 祝捷, 刘德军. 《塑性力学》[M]. 徐州: 中国矿业大学出版社, 2021, 10

Discussion on the development of Lode stress parameters in plasticity teaching process

WANG Hongwei*, 1)，FU Jiahui*

*（School of Mechanics and Civil Engineering, China University of Mining and Technology, Beijing 100083, China）

Abstract: The limitation of Lode stress parameters in the current plasticity textbook is analyzed from the perspective of classroom teaching. The expanded form of Lode stress parameter calculation formula in π plane is deduced in this paper. It is suggested that there are six formulas for the calculation of Lode stress parameter. The formula in the current plasticity textbook is one of the six cases when the principal stress sequence is . The form of Lode stress parameter formula could change according to the principal stress sequence. Meanwhile, since the Lode stress parameter is the basis for establishing the material yield criteria in the plasticity, the results of this paper can be used to draw the yield curve without determining the sequence of principal stress. Therefore, the results discussed in this paper developed the formulas form of Lode stress parameter and improve the way of drawing the yield curve in π plane.

Key words: plasticity, Lode stress parameters, π plane, principal stress