浅谈材料力学中简易法快速画梁的剪力图和弯矩图

 杜超凡，陶阳   

（扬州大学 建筑科学与工程学院，江苏 扬州 225000）

[摘  要]本文以作用于梁上的横向分布力集度与剪力、弯矩的微分关系为基础，归纳总结了几种荷载作用下剪力图、弯矩图的特征。掌握这些特征就能不写内力方程而根据外力直接画出相应的剪力图和弯矩图。

[关键词]剪力图；弯矩图；微分关系；积分关系

[基金项目]2020年扬州大学“课程思政”教学示范课程建设项目（131010341）

[作者简介]杜超凡（1987—），男，山东威海人，工学博士，扬州大学建筑科学与工程学院土木系讲师，研究方向为多体系统动力学与控制，计算力学；陶阳(1964—),女,安徽宣城人,工学学士,扬州大学建筑科学与工程学院土木系副教授,研究方向为工程力学测试与计算。

［中图分类号］G642.0  ［文献标识码］A  ［文章编号］1674-9324（2021）04-0000-04 

    一、引言

《材料力学》是工科学生的一门必修课，其中剪力图和弯矩图的绘制是本门课的重点也是难点，尤其对土木工程专业的学生而言尤为重要，也是后续课程《结构力学》的基础。

教材^[1-3]中介绍的绘制剪力图和弯矩图的方法主要有两种：一种是用截面法写剪力方程和弯矩方程，再根据所列方程作图。写剪力方程和弯矩方程的时候，要在外力荷载规律变化的截面进行分段，对于作用于梁上的荷载只有一种或两种的情况，对截面分段较少，所以这种方法简单、直观。但若作用于梁上的荷载种类较多时，分段写剪力方程和弯矩方程将是一个非常繁琐的过程，而且极易出错，所以这种方法使用较少。另一种方法是基于横向分布力集度与剪力、弯矩的微分关系和积分关系，根据剪力图和弯矩图在外力荷载作用下的规律，由控制截面上的内力值连线即可不用写内力方程而直接画相应的内力图。这种方法简便、高效，也被称为简易法。该方法的关键是要能熟练掌握不同荷载作用下剪力图和弯矩图的特征。本文以横向分布力集度与剪力、弯矩的微分关系为基础，归纳总结了几种荷载下内力图的特征，具体讲述如何利用这些特征用简易法快速、高效、准确地画剪力图和弯矩图。

   二、横向分布力集度与剪力、弯矩的微分关系

                          (1)

                          (2)

                      (3)

应用这些关系以及剪力图和弯矩图的规律，就能得到剪力图和弯矩图的一些特征如下：（需要说明的是，以下弯矩图特征都是以弯矩向下为正总结的）

(1) 若某段梁上无分布荷载作用，即q(x)=0, 剪力F_S为常数，剪力图为平行于x轴的水平线；弯矩M为x的一次函数，弯矩图为一条斜直线。根据该梁段两端的弯矩值就能确定这条斜直线。

(2) 若某段梁上的有均布荷载作用，即q(x)为常数，则剪力F_S为x的一次函数，剪力图为斜直线；弯矩M为x的二次函数，弯矩图为二次抛物线。当q﹥0，剪力图斜率为正，是增函数，所以上斜；弯矩图斜率为增函数，所以为上凸的抛物线；当q ﹤0，同样的分析过程，剪力图下斜，弯矩图为下凸的抛物线。抛物线的凹凸方向关键看q的箭头指向。q的箭头指向哪里，抛物线就往哪凸。q箭头向上，抛物线就上凸，箭头向下，抛物线就下凸。在剪力F_S=0处，对应着抛物线的顶点，即弯矩的极值点。

(3) 若某截面有集中力作用，在集中力作用的截面剪力图会发生突变，突变值为集中力大小，突变方向与集中力作用方向一致。若集中力作用方向向上，从左到右剪力图就向上突变。当剪力发生突变但没有改变符号，则弯矩图斜率虽然发生了改变，但没有变号，弯矩图上会有向上的尖角，但这个尖点的弯矩值不是极值点；当剪力发生突变而且改变了符号，则弯矩图斜率发生了改变，而且变了号，则弯矩图上的尖点就是弯矩的极值点。若集中力作用方向向下，从左到右剪力图就向下突变。弯矩图会有向下的尖角，同理，只有剪力突变异号弯矩图的尖角才是极值点。

(4) 若某截面有集中力偶作用，在集中力偶作用处对剪力图无影响，弯矩图在该截面会发生突变，突变值为该集中力偶的大小。突变方向从左到右看总结了这8个字：顺流而下，逆流而上，即顺时针的集中力偶弯矩图向下突变，逆时针的集中力偶弯矩图向上突变。

(5) 自由截面以及铰接处，若无集中力偶作用，则弯矩为零。

三、横向分布力集度与剪力、弯矩的积分关系

在梁上点C和点D之间对式(1)进行积分可得：

                        (4)

即梁上两点之间若没有集中力作用，则剪力差等于该两点之间分布荷载曲线与x轴围成的面积。正方向部分的面积为正，负方向部分的面积为负。

在梁上点C和点D之间对式(2)进行积分可得：

                       (5)

即梁上两点之间若没有集中力偶作用，则两截面间的弯矩差等于该两截面之间剪力图所包围的面积。正方向部分的面积为正，负方向部分的面积为负。

    横向分布力集度与剪力、弯矩的积分关系为根据内力图面积快速计算控制截面的内力值提供了理论依据。

四、举例

外伸梁AB承受荷载如图1所示，作该梁的剪力图和弯矩图。

图1 外伸梁AB

    (1) 由静力平衡方程求C、B两处的支反力。

(2) 画剪力图。从左到右画，对于平衡问题，剪力从零开始，到零结束。

A截面作用有向下的集中力，所以剪力图要向下突变，从零开始，突变值3kN，AC 段没有分布荷载作用，q=0，剪力图为水平线。C截面有向上的集中力作用，剪力图向上突变，突变值为F_C的大小，所以到4.2kN。CD段有均布荷载作用，所以剪力图是斜直线。D截面剪力值由截面法取右半部分析可得-3.8kN。DB段没有分布荷载作用，剪力图水平线。B截面有向上的集中力作用，所以剪力图向上突变，突变值F_B的大小，正好回到零点。如果这里没有回到零点，说明支反力或控制截面的剪力值有误，需检查并修改，起到一个校核的作用。同时标明剪力的单位及正负号。

图2 剪力图

(3) 画弯矩图。从左到右画，对于平衡问题，剪力从零开始，到零结束。

A截面是自由截面且没有集中力偶作用，所以弯矩为0。C截面弯矩即AC段剪力图面积得-3kN▪m。AC段没有分布荷载，弯矩图是斜直线。CD段有均布荷载作用，弯矩图抛物线。均布荷载箭头向下，所以抛物线向下凸。画抛物线通常选3个截面，分别是均布荷载的起端、末端及剪力为0处对应的弯矩值即抛物线顶点。由剪力图可求得剪力为零处的位置，根据积分关系就能求得该处的弯矩值为1.41 kN▪m，D截面左侧弯矩值为-2.2 kN▪m。D截面处有集中力偶作用，弯矩图要发生突变。集中力偶的方向是顺时针，顺流而下，所以弯矩图向下突变，突变值6 kN▪m，突变到3.8 kN▪m。 DB段没有分布荷载作用，所以弯矩图是斜直线。B截面是铰接处，没有集中力偶作用，弯矩为零。标明弯矩的单位及正负号。

图3 弯矩图

五、总结

本文以横向分布力集度与剪力、弯矩的微分关系为基础，总结归纳了几种荷载作用下剪力图和弯矩图的特征，具体讲述了如何用简易法画内力图。利用它们之间的积分关系，可由内力图面积快速求出控制截面的内力值。掌握这些特征，就可以不用写内力方程而根据外力直接画相应的内力图，简单、高效。

参考文献

[1] 邓宗白,陶阳,吴永端.材料力学[M].北京:科学出版社,2013.

[2] 刘鸿文.材料力学(Ⅰ)[M].5版.北京:高等教育出版社,2011.

[3] 孙训方.材料力学(第5版)[M].北京:高等教育出版社,2009.

A brief discussion on the shear force diagram and bending moment diagram of beams drawn by a simple and rapid method in mechanics of materials

Chaofan Du Tao Yang

(College of Civil Science and Engineering, Yangzhou University, 225000)

Abstract: The characteristics of shear force diagram and bending moment diagram under several loads are summarized based on the differential relationship between distributed load, shear force and bending moment. By mastering these characteristics, we can draw the corresponding shear force diagram and bending moment diagram according to the external force without writing the internal force equations.

· Keywords:  shear force diagram; bending moment diagram; differential relation; integral relation