研磨活动层级,剑指理性思维

        以矩形折叠问题为例

                             周可  

            (云南师范大学数学学院 云南 昆明650500)

【摘  要】文章以矩形折叠问题为例,通过对相关知识进行多维挖掘,立足于不同视角设计出由直观到抽象、由单一到综合等五个层级不同的数学活动,旨在帮助学生在活动参与中实现思维的飞跃,在活动探索中发掘问题的本质,在活动体验中领悟数学思想的内涵，在活动反思中积累理性思维的经验.帮助学生在层级活动中不断突破原有认知,积累直观经验,形成显性学力,发展隐形学力,最终达到提升理性思维的目的.

【关键词】层级活动;显性学力;隐性学力;理性思维

[作者简介]周可（1985—），女，云南师范大学，2019级研究生，研究方向为数学教育.

一、问题提出

在新课程理念下,初中数学课程目标之一是学生通过数学学习能够获得适应社会生活和进一步学习所需的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验.但初中数学课堂教学通常是以基本知识与基本技能为主体、以基本思想为灵魂,对基本活动的重视程度却不够.有些教师认为数学活动耗时较长会影响课程进度,将数学活动等同于“讲题+模仿”的教学模式,偏重于对学生进行解题的操练,缺乏探究性思维活动的参与.导致学生形成“数学即为抽象知识与高深解题的化身”的刻板印象,对数学产生畏惧心理,无法感受到数学学科之美.只有在适当的活动体验中,数学理论才能充满活力.因此需要教师精心设计数学活动帮助学生积累认知经验,跨越理论和现实的鸿沟,形成理性思维.笔者结合折叠活动的具体案例,就不同活动层级的设计策略浅谈本人的几点探索,与同仁分享、交流.

二、设计策略

数学活动的实质是数学思维的活动,而数学思维的激发与培养是通常是以问题为载体,因此不同活动层级的设计侧重于提出不同层次的数学问题激发学生思维意识,促进学生积极思考,以达到提高学生理性思维这一目的.以问题为载体的不同层级数学活动的设计策略如下:

1. 实操中经历直观,形成显性学力

   在第一级层级活动中,提供显性材料让学生经历模仿、观察、猜想、验证等过程,进行手脑并用的双重实践,激发学生对问题实质的发现与探究,促进学生思维由感性具体上升到理性具体.在此层级中并非要解决问题,而是提供给学生在感官、知觉等方面的直观体验.通过感官对图形进行初步接触和尝试,这些接触结果在大脑中得到保存和巩固,形成显性学力,为理性思维的发展提供知识支撑.

活动1:准备一张矩形纸片,折叠其任意一角,使矩形顶点落在梯形内.借助尺规作出折叠前后的图形,并标出相应字母.观察并探索折叠前后的变量和不变量,并说明理由.

设计意图：通过活动1提供的感性材料,学生在实操过程中对折叠有了直观体验,逐步体会出折叠即为图形的运动,折叠前后的图形是轴对称的,进而积累直观思维经验,形成显性学力.

2. 探究中提炼方法,构建思维策略

   第二级层级活动的设计立足于感性经验,在实际背景下进一步“派生”出高层级数学问题.引导学生对图形材料进行有效处理,根据问题重组、检索相关知识,并将其转化为与问题贴合的操作程序,最终提炼出解题策略,促进学生的思维经验逐步从底层直观性操作经验上升到高层思维性策略经验.

活动2:如图1所示,已知=4㎝,=6㎝,点是的中点,折叠矩形一角使得点落在梯形内,记为点. 

 图1                                 图2

问题1:连接,如图1,发现2图中的全等三角形,并说明理由；

问题分析:由折叠前后的图形形状、大小都不变的特性,易知有三对全等三角形.

设计意图:学生通过自己动手折叠并观察、探究折叠过程,厘清折叠和全等的关系,洞悉折叠前后图形全等的数学本质,建构折叠与全等的关系网络,理解图形在折叠前后的变与不变,初步体会用全等三角形知识解决折叠问题的思想,感受数学知识的内在统一性.

问题2:探究图1中的等腰三角形的个数,并说明理由；

问题分析:由,可知,.推得和是等腰三角形.

设计意图:学生在思维活动过程中,正确提取全等三角形相关知识,建立起知识空间的链状结构,将等腰三角形、全等三角形、轴对称等知识进行有效融合,从而高效解决问题.

问题3:如图1,试探索和的位置关系；

问题分析:通过折叠前后的两个图形全等且对称,可得点和点关于折痕所在直线对称,即知⟂.

设计意图:学生通过感知图形直观,积累数学直觉思维;通过探索两者关系明确轴对称性质,即连接对应点间的线段被对称轴垂直平分.总结出等腰三角形是轴对称图形,且具有轴对称图形的一切特征,进一步优化思维结构.

问题4:如图2,探究线段的长度；

问题分析:方法1引导学生从求直角三角形的高出发,发散思维.设和线段的交点为点,由线段,在直角三角形中利用等面积法求出斜边,即知.

方法2联想对角线互相垂直的四边形面积公式,引导学生观察四边形对角线互相垂直的关系,同时四边形面积也可看成由△面积与△面积之和,进而由四边形面积不变求出的长度.

设计意图:在探究的长度的过程中,提高学生从不同视域审视问题的能力,培养学生借助数学概念、基本事实、基本原理进行逻辑推理的能力,提升基于逻辑推理规则下进行运算的理性思维.

问题5:连接,如图2,探究△的形状；

问题分析:由是等腰三角形可知,又点是的中点,可知,又,得,即.由角的等量代换和三角形内角和定理得到即△为直角三角形.

设计意图:通过对问题的进一步拓展与延伸,深度挖掘数学知识的内在联系,帮助学生体悟三角形形状的判断方法,透过现象分辨出本质,探寻解题路径,逐步体会图形折叠和三角形知识的密切相关性,形成个人对数学知识的理解风格,培养学生直观想象和逻辑推理的数学素养.

问题6:如图2,探究线段的长度；

问题分析:由第5问可知△为直角三角形，又知和长度利用勾股定理即求长度.

设计意图:把问题由定性分析向定量分析过渡,完善学科认知结构,增强知识的系统性.通过对的长度的探索,挖掘问题的隐含条件,对问题进行“瞻前顾后”的双重考量,从而形成系统化认知.由问题5的结论,学生对问题6的解决方向即可做出明确分析,利用勾股定理便解决问题.

问题7:如图2,若,分别探究、的度数.

问题分析:由和互余,推知互余,即.和互余,和互余,可知.

设计意图:通过角度计算的设计,避免学生在处理折叠问题中思维只聚焦三角形和线段有关的数量或位置的计算和判断,使得积累的数学思维更全面,防止学生在解决问题时产生定势思维等经验主义错误.

3. 思考中内化经验,发展隐性学力

学生通过第一级活动的体验在动手操作中获得直观思维经验,即从直观材料中抽象出数学图形,经过理性思考获得对图形的深入理解.在第二级活动中,学生历经类比、联想、迁移等过程,不断获得高水平思维活动经验.同时随着活动的不断深入,学生在归纳推理、演绎推理的过程中,不断积累方法性经验,探寻数学本源,总结出有效解决问题的方法技巧,形成个人独特的数学直觉.若再次遇到新问题或未知情境时,能下意识主动运用这种数学直觉发现或处理问题,最终提升数学思维、形成数学能力.

在第三级层级活动过程中,教师可以引导学生思考活动1中折叠矩形一角还有何种不同的折叠方式,引导学生分类思考,并动手画出相应图形.在活动2中,通过设置层层深入的问题驱动学生思考七个问题之间的关联,发掘各个问题背后所蕴藏的知识、方法与技能,不断使学生获得并加强显性学力.在此基础上,促进学生的数学隐性学力不断得以发展,理性思维最终得以升华.如问题4,求出线段的长度后,可尝试让学生归纳线段相关问题的情境设置及求长度的通法思维.探究问题5中△的形状后,尝试让学生回顾三角形的分类依据,并由此归纳出不同类型三角形的判别方法.不断在活动中渗透数学思考和数学思想,促进经验的内化.

4. 运用中灵活迁移,升华理性思维

   数学活动离不开实践应用,同时活动过程所获得的方法、技能、经验只有在实践中进行检验,才能明确活动的结果,才能进一步评判活动的成功与否.因此,在第五级层级活动中需设计以问题为导引的实践性过程,帮助学生在运用中体会活动经验所带来的价值,在迁移中领悟理性思维的魅力,在评价中感受认知差异所带来的震撼,最终达到理性思维的升华.

活动3:如图1,矩形纸片,,.现将其折叠,使点与点重合.

问题1:探究折叠后的长；

问题2:探索折痕的长；

问题3:连结,发现四边形的形状,并说明理由.

          图1                                 图2

问题分析:学生在活动2的基础上已建立起折叠问题的基本解题思路的经验,即利用轴对称解决.虽本题图形稍复杂,但学生由轴对称图形的性质,可得.设,由勾股定理可得,列方程,解得.即 问题2,由于并不在直角三角形中,结合活动2的经验,学生可通过类比作出垂线构造出直角三角形解决问题,如图2.通过活动2中问题2的思维经验的积累,学生会进一步发现△是等腰三角形.即.通过观察易得四边形是矩形,又.可得.可求. 由以上分析可得,又//,则四边形为平行四边形.又,故▱是菱形,问题3就迎刃而解.

设计意图:通过活动3对主观经验和客观知识的融会贯通,学生通过数学直觉判断解决问题的基本思路有效提取合理经验降低认知的复杂性,促进理性思维的进一步飞跃.

5. 反思中抽象概括,习得思维经验

正如弗赖登塔尔所说:“反思是重要的数学活动,它是数学活动的核心和动力.”因此,在数学活动过程中要注重从问题特征、解决思路、解决途径、思维策略、问题延伸等方面进行反思,以促进对问题的全面认识和理性思维能力的提高.教师需对问题的解决过程进行实时评价与总结,在反思中不断发展学生的理性思维和解决问题能力.在第四级层级活动中可归纳为以下两个类别进行反思:一类是引导学生在活动过程中反思解决折叠问题的基本思想、方法,透过折叠表面通达其数学本质;另一类,引导学生反思整个层级活动带来的思维认同,改进学生对知识体系的认知,在自我监控和接受评价中反思自身对知识体系的深刻理解,引导学生把活动习得的经验纳入自己的认知系统,进而提升理性思维水平.如比较问题4和问题6进行反思,虽这两个问题都要求求出线段的长度,但问题4的两种方法在问题6中并不适用,可知求线段的方法的选择需要根据具体的问题情境做出合理判断,不能盲目套用.通过反思,将累积的直观性经验和方法性经验恰当交融,实现感性和理性相结合,形成高层次的复合型思维经验,打通数学思维回路,建构高阶思维.

三、结语

   通过设计不同层级的数学活动,引领学生在操作中感受数学直观、在探究中形成策略、在思考中内化方法、在激活中运用经验,能够帮助学生积累感性直观经验和理性思维经验,促进学生思维由“体验”上升到“经验”,进而提高理性思维能力.另外,学生需要通过直观显性操作理解所学的数学知识的深刻含义,逐步形成数学学习的显性学力,进一步发展学习数学的隐性学力,进而达到提升数学能力的目的.

正如教育家杜威所倡导的:经验首先是实际的,不是认知的,它是行动的结果.因此,在教学中,对于实操性比较强的内容可以多给学生提供亲自参与体验的机会,促进学生在实操中不断积累活动经验;对于思维要求较高的内容,可以多给学生留有思考余地帮助学生在思考中不断生长出理性思维.学生学习数学除了获得知识和技能这些可测型结果以外,还有长时间积淀后的理性思维方式,尽管这种思维方式具有内隐性且无法及时评测,但它对数学学习至关重要,需要我们在教学中加以重视和强化.

参考文献：

[1]章建跃.数学教育随想录上卷[M].杭州:浙江教育出版社,2017:19-23

[2]吕世虎等.中学数学课程标准与教材研究[M].北京:高等教育出版社,2015:31

[3]孔凡哲.基本活动经验的含义、成分与课程教学价值[J].课程·教材·教法,2009（3）:34-35

[4]戴娟.矩形的折叠问题[J].中学数学月刊,2012（12）:43

[5]周建华.浅析矩形中的折叠问题[J].中小学数学,2017（7）:66

[6]许敏娟.学生数学基本经验积累的教学探析[J].中国校外教育,2015（6）:120

[7]郭玉峰.数学学习论[M].北京:北京师范大学出版社,2015:198-210

Grinding activity levels, sword refers to rational thinking
——Take the rectangular folding problem as an example

 Week available

 (School of Mathematics, Yunnan Normal University 650500)

Abstract: The article takes the rectangular folding problem as an example. Through the vertical and horizontal mining of relevant knowledge, it studies and polishes five levels of mathematical activities from intuitive to abstract, from single to comprehensive, from different perspectives.It aims to help students realize thinking in activity participation. The leap in exploring the nature of problems in activity exploration, comprehending the connotation of mathematical thinking in activity experience, and accumulating rational thinking experience in activity reflection. Eventually, students continue to break through their original cognition and enhance rational thinking during the activity.

Keywords: Hierarchical activity; explicit academic ability; implicit academic ability; rational thinking